Citazione:

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Messaggio inserito da The_Mad_Hatter
ES. n. 2
Qui possiamo scegliere di procedere in due modi differenti.
Scelgo quello più indolore.
Intanto Y è una bernoulliana... inoltre:

P(Y=0) = y^0/0! * e^(-y) = e^(-y)

Quindi P(Y=1) = 1-e^(-y).
Quest'ultimo è il parametro della bernoulliana, che chiamo p.
Quindi p = 1 - e^(-y)
Facilmente, p cappuccio è uguale alla media campionaria di Y, ovvero:

p^ = 4/7

Notiamo che p è una funzione di y, infatti potrei scrivere

f(y) = 1-e^(-y)

Tuttavia per applicare il principio dell'invarianza, ci serve una funzione di p e non di y.
Notiamo però che

f : ]0,+inf[ --> ]0,1[

è bigettiva[*], pertanto invertibile.

[*]Dominio e codominio corrispondono con i valori che possono assumere rispettivamente y e p.

Per trovare la sua inversa, basta isolare y in funzione di p: quindi se

p = 1 - e^(-y)

, allora

y = -(ln(1-p))

quindi

f(p) = -(ln(1-p))
definita da ]0,1[ a ]0,+inf[

Pertanto, per l'invarianza:

y^ = -(ln(3/7)) ~ 0,847

Mi rendo conto che la spiegazione di questa procedura molto intuitiva richiede un po' di conoscenza di analisi... ma se non avete molta confidenza con le derivate e/o fate spesso errori di calcolo è decisamente preferibile...
Io ho fatto l'esercizio anche nell'altro modo, ovvero scrivendo esplicitamente la funzione di verosimiglianza per y:

L(y) = (1 - e^(-y))^4 * e^(-3y)
..etc

Ma ho perso molto più tempo perché mi impu*ta*avo sempre con le derivate...

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ln(7/3) = -(ln(3/7)) ~ 0,847

Citazione:

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Messaggio inserito da The_Mad_Hatter

Beh, forse perché ln(7/3) e -ln(3/7) sono lo stesso punto :D
Infatti:

ln(7/3) = -(ln(3/7)) ~ 0,847

Comunque secondo me hai fatto dei passaggi inutili nella terza pagina, ti potevi benissimo fermare alla prima riga, ovvero:

(7e^(-y) - 3)/(1-e^(-y)).
Annullando la derivata trovi il punto stazionario (che guarda caso è lo stesso :D stavolta però nella forma -ln(3/7)), se proprio vuoi essere sicuro che sia di massimo e non di minimo fai la derivata seconda che verrà positiva in quel punto e te ne darà la certezza :p

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Citazione:

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Messaggio inserito da toto007
[...]

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Citazione:

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Messaggio inserito da The_Mad_Hatter

Propongo la risoluzione dei primi tre, quelli relativi alla massima verosimiglianza.. gli altri non li ho fatti perché sono relativi al primo esonero.

ES. n. 1
Stabiliamo i valori ammissibili per p.
Intanto la somma delle probabilità deve essere 1, e questo avviene sempre, in quanto:

p + (1/2 - p) + p + (1/2 - p) = 2p + 1 - 2p = 1

Inoltre, ogni probabilità deve essere compresa tra 0 e 1.

1/2 - p <= 1  ==>  p <= 1/2
AND
p >=0

[...]

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p2=p4= p       => ( 0 < p < 1 
                  {
p1=p3= 1/2 - p => ( 0 < 1/2 - p < 1 => -1/2 <p < 1/2

Dunque  
        |   |---|---|
        |---|---|   |
      __|___|___|___|_
      -1/2  0  1/2  1

Da cui capiamo che 0 < p < 1/2

Citazione:

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Messaggio inserito da The_Mad_Hatter
ES. n. 2
Qui possiamo scegliere di procedere in due modi differenti.[...]

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P(Y=0) = y^0/0! * e^(-y) = e^(-y)
P(Y=1) = 1 - P(Y=0) = 1 - e^(-y)

L(y) = (1 - e^(-y)) * e^(-y) * e^(-y) * e^(-y) * (1 - e^(-y)) * (1 - e^(-y)) * (1 - e^(-y)) =
= e^(-3y) * (1 - e^(-y))^4

LnL(y) = -3y*Ln(e) + 4*ln(1 - e^(-y)) = -3y + 4*ln(1 - e^(-y))

d/dy LnL(y) = -3 + 4 * 1/(1 - e^(-y)) * (-e^(-y)*(-1)) =
            = -3 + 4 * e^(-y)/(1 - e^(-y)) =
            = ( -3*(1 - e^(-y))+4*e^(-y) ) / (1 - e^(-y)) >0

Il denominatore è sempre maggiore di zero, dunque

( -3*(1 - e^(-y))+4*e^(-y) ) / (1 - e^(-y)) >0 <=> ( -3*(1 - e^(-y))+4*e^(-y) ) > 0

( -3*(1 - e^(-y))+4*e^(-y) ) > 0 <=> -3 + 3e^(-y) + 4*e^(-y) > 0 <=>
<=> -3 + 7e^(-y) > 0 <=> e^(-y) > 3/7 <=> Ln(e^(-y)) > Ln(3/7) <=>
<=> -y*Ln(e) > Ln(3/7) <=> -y > Ln(3/7) <=> y < -Ln(3/7) 

dove -Ln(3/7) = -1*Ln(3/7) = -1*(-0,85) = 0,85

y^ = 0.85

Citazione:

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Messaggio inserito da The_Mad_Hatter

Citazione:

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Messaggio inserito da toto007
[...]

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Forse la traccia non era il massimo della chiarezza, 5 ripetizioni fa proprio pensare ad una binomiale di parametri (5,p)... ma invece quello che intendeva è che abbiamo effettuato per 5 volte l'esperimento "lancio 4 volte una moneta".
Quindi 5 è la dimensione del campione (in effetti era anche superfluo dirlo) e la binomiale è di parametri (4,p).

Comunque in caso di errori simili all'esonero, il prof valuta lo svolgimento dell'esercizio... quindi l'importante è saper fare l'esercizio, te la saresti cavata cmq bene! ;p

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Soluzione-3°Esercizio-Statistica-III.pdf

Citazione:

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Messaggio inserito da The_Mad_Hatter
ES. n. 2
Qui possiamo scegliere di procedere in due modi differenti.[...]

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P(Y=0) = y^0/0! * e^(-y) = e^(-y)
P(Y=1) = 1 - P(Y=0) = 1 - e^(-y)

L(y) = (1 - e^(-y)) * e^(-y) * e^(-y) * e^(-y) * (1 - e^(-y)) * (1 - e^(-y)) * (1 - e^(-y)) =
= e^(-3y) * (1 - e^(-y))^4

LnL(y) = -3y*Ln(e) + 4*ln(1 - e^(-y)) = -3y + 4*ln(1 - e^(-y))

d/dy LnL(y) = -3 + 4 * 1/(1 - e^(-y)) * (-e^(-y)*(-1)) =
            = -3 + 4 * e^(-y)/(1 - e^(-y)) =
            = ( -3*(1 - e^(-y))+4*e^(-y) ) / (1 - e^(-y)) >0

Il denominatore è sempre maggiore di zero, dunque

( -3*(1 - e^(-y))+4*e^(-y) ) / (1 - e^(-y)) >0 <=> ( -3*(1 - e^(-y))+4*e^(-y) ) > 0

( -3*(1 - e^(-y))+4*e^(-y) ) > 0 <=> -3 + 3e^(-y) + 4*e^(-y) > 0 <=>
<=> -3 + 7e^(-y) > 0 <=> e^(-y) > 3/7 <=> Ln(e^(-y)) > Ln(3/7) <=>
<=> -y*Ln(e) > Ln(3/7) <=> -y > Ln(3/7) <=> y < -Ln(3/7) 

dove -Ln(3/7) = -1*Ln(3/7) = -1*(-0,85) = 0,85

y^ = 0.85

Citazione:

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Messaggio inserito da Spidey
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Ora il mio dubbio è, come detto sopra, il ragionamento secondo cui tu hai deciso di considerare il denominatore della derivata sempre maggiore di zero.

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