Dimostrare che L = {a^i b^j c^k | 0<=i<=j<=k} non è libero da contesto

"z" come z=a^p b^p c^p tale che |z|=3p>p

pompo "z" tale che z=u v^2 w x^2 y
accade che per i casi:

1) z=a^p+r' b^p c^p , 0<r'<=r<=p, quindi è sicuramente più grande di |b| e |c|
2) z=a^p b^p+k' c^p , 0<k'<=k<=p, quindi |b| è sicuramente più grande di |c|
4.1) "v" diverso da 0, "x"=0 (metto 0 al posto del simbolo neutro)
z=a^p+(r'-1) b^p+1 c^p , 0<r'<=r<=p, quindi |a| potrebbe essere uguale o superiore di |c| ma |b| è sicuramente più grande di |c|
4.2) "v"=0, "x" diverso da 0
z=a^p+1 b^p+(k'-1) c^p , 0<k'<=k<=p, quindi |b| potrebbe essere uguale o superiore a |c| ma |a| è sicuramente più grande di |c|
4.3) "v" diverso da 0, "x" diverso da 0
z=a^p+r' b^p+k' c^p , 0<r'+k'<=r+k<=p, quindi |a| e |b| sono sicuramente maggiori di |c|

depompo "z" tale che z=uv°wx°y
accade che per i casi:
3) z=a^p b^p c^p-j , 0<j'<=j<=p, |c| quindi è sicuramente più piccolo di |b| e |a|
5.1) "v" diverso da 0, "x"=0
z=a^p b^p-(k'-1) c^p-1, 0<k'<=k<=p, quindi |b| potrebbe essere uguale o minore di |a| ma |c| è sicuramente minore di |a|
5.2) "v"=0, "x" diverso da 0
z=a^p b^p-1 c^p-(j'-1) , 0<j'<=j<=p, quindi |c| potrebbe essere uguale o minore di |a| ma |b| è sicuramente monore di |a|
5.3) "v" diverso da 0, "x" diverso da 0
z=a^p b^p-k' c^p-j' , 0<j'+k'<=j+k<=p, quindi |c| e |b| sono sicuramente minori di |a|

In tutti i casi "z" non appartiene ad L

Dimostrare che L = {a^i b^j | i<=j<=2i; i,j >=0} non è regolare

Va presa |z|> n dove n sono gli stati dell'automa, quindi potrei prendere a^n e b^n come parola. Quindi z=a^nb^n
Dovrei prendere z=a^nb^n e dire che l'automa partendo dallo stato q0 legge una a per volta fino a che dopo la n-esima volta si porta in qn. Quindi abbiamo n+1 stati q0, q1,...qn in cui M transita.
Poiché M ha solo n stati, due tra gli stati q0, q1,...,qn devono coincidere.
Siano qi e qj gli stati coincidenti, abbiamo quindi qi=qj ,con i<j.
Nel grafo degli stati n esiste quindi un ciclo lungo j-i. Poiché esiste tale ciclo, possiamo aggiungere altre "a" nella parola in ingresso, ottenendo ancora parole accettate da M se il numero di "a" aggiunte è un multiplo di j-i.
Quindi a^[n-(j-i)]b^n appartiene a T(M) con K=0", per k = 0 non si entra mai nel ciclo. Questo vuol dire che vengono saltati (j-i) stati.
Continuando, a^[n+k(j-i)]b^n appartiene a T(M) con K=1,2,..."
Ma a^[n+k(j-i)]b^n non appartiene al linguaggio L poiché dalla traccia i<=j<=2i.
Ciò è assurdo, quindi L non è regolare.