| V I S U A L I Z Z A D I S C U S S I O N E |
| Chilavert |
Inserito il - 10/01/2004 : 07:54:14
Esercizio 1
Siano G = S4 il gruppo delle permutazioni su 4 elementi H il sottogruppo generato da a = (12), b = (1324). Si calcolino l’ordine di H, il periodo ed il segno dei suoi elementi. Si calcolino il numero dei laterali a sinistra modulo H ed il laterale cH dove c = (234)
Svolgimento
Abbiamo che H = <a, b> = {id, a, b, b^2, b^3, aob, boa, aob^2, b^2oa, aob^3, b^3oa}
Evitando di scrivere lunghi calcoli, abbiamo che b^2 = (12)o(34), b^3 = (1423), aob = (13)o(24), boa = (14)o(23), aob^2 = (34), b^2oa = (34), aob^3 = (14)o(23), b^3oa = (13)o(24)
Quindi H = {id, (12), (34), (1324), (1423), (12)o(34), (13)o(24), (14)o(23)}
L’ordine di H ovviamente è 8, mentre per i periodi abbiamo: id = 1, (12) = (34) = (12)o(34) = (13)o(24) = (14)o(23) = 2, (1324) = (1423) = 4, e per i segni: id = (12)o(34) = (13)o(24) = (14)o(23) = +1, (12) = (34) = (1324) = (1423) = -1
I laterali a sinistra modulo H saranno |S4|/|H| = 24/8 = 3
Nello specifico, cH si ottiene componendo c per ogni elemento di H, quindi cH = {(234), (23), (14), (132), (143), (124), (1342), (1243)} |
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| Chilavert |
Inserito il - 10/01/2004 : 07:56:18
Esercizio 5
Si consideri l’insieme A = {r/s; r, s appartenenti a Z, s dispari}. Si provi che A è un sottoanello unitario di (Q, +, *). Si calcoli il gruppo U(A) degli elementi unitari e si stabilisca se A ammette divisori dello zero.
Svolgimento
Per dimostrare che (A, +, *) è sottoanello di (Q, +, *) basta dimostrare che l’unità di Q appartiene ad A, e, per ogni x, y appartenenti ad A, x – y ed x*y appartengono ad A.
Possiamo scrivere 1 come 1/1, quindi r = 1 ed s = 1 (s è dispari) quindi 1 appartiene ad A.
Se invece prendiamo x come a/b, ed y come c/d, abbiamo che x – y = (c – a)/bd, mentre x*y = ac/bd. Entrambi appartengono ad A perché, siccome b e d sono dispari, il loro prodotto è ancora dispari. Quindi (A, +, *) è sottoanello di (Q, +, *).
Per vedere gli elementi invertibili di A basterà considerare che r/s ha come inverso s/r (infatti r/s * s/r = 1). Quindi s/r deve appartenere all’insieme, e questo vale soltanto se r è dispari; ma per definizione anche s è dispari quindi U(A) = {s/r; r, s appartenenti a Z, r, s dispari}.
Infine, si dicono divisori dello zero di un anello due elementi, x, y diversi da zero il cui prodotto ci dia zero. Quindi, se x = a/b ed y = c/d, ac/bd = 0 si verificherebbe nel caso ac = 0, ma questo non è possibile perché x ed y sono diversi da zero. Quindi A non ammette divisori dello zero. |
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Inserito il - 10/01/2004 : 07:55:55
Esercizio 4
Si verifichi che (R* x R, *) è un gruppo, dove * è l’operazione su R* x R tale che (a, b) * (a’, b’) = aa’, ab’ + b). Si provi che {1} x R è un sottogruppo di R* x R, e che l’operazione indotta su {1} x R è commutativa.
Svolgimento
Per dimostrare che una struttura algebrica è un gruppo dobbiamo vedere se l’operazione ad essa associata è associativa, dotata di elemento neutro e che tutti gli elementi abbiano inverso nell’insieme.
1. Associatività: (a, b) * ((c, d) * (e, f)) = ((a, b) * (c, d)) * (e, f)
(a, b) * (ce, cf + d) = (ac, ad + b) * (e, f)
(ace, acf + ad + b) = (ace, acf + ad + b) SI, E’ ASSOCIATIVA
2. Elemento neutro: (a, b) * (u, v) = (a, b) = (u, v) * (a, b)
(au, av + b) = (a, b) quindi, mettendo a sistema, otteniamo:
au = a -> u = 1
av + b = b -> v = 0
Sostituendo (1, 0) nella dimostrazione da destra a sinistra, otteniamo:
(1, 0) * (a, b) = (1a, 1b + 0) = (a, b) SI, HA ELEMENTO NEUTRO
3. Invertibilità: (a, b) * (x, y) = (1, 0)
(ax, ay + b) = (1, 0) quindi, mettendo a sistema, otteniamo:
ax = 1 -> x = 1/a
ay + b = 0 -> y = -b/a
(a, b) ha per inverso (1/a, -b/a) che è una coppia valida perché a appartiene ad R*
Quindi la struttura algebrica considerata è un gruppo.
Per dimostrare che ({1} x R, *) è sottogruppo di (R* x R, *) basta dimostrare che è non vuoto e che, per ogni (a, b), (c, d) appartenenti a {1} x R, (a, b) * (c, d) appartiene a {1} x R.
L’insieme è non vuoto, si vede perché (1, 0) ovviamente appartiene a {1} x R.
Inoltre, (a, b) * (c, d) = (ac, ad + b) = (1*1, 1*d + b) = (1, d + b) appartiene a {1} x R, quindi la struttura è sottogruppo di (R* x R, *).
L’operazione è commutativa perché (a, b) * (c, d) = (1, d + b), mentre (c, d) * (a, b) = (1, b + d). |
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Inserito il - 10/01/2004 : 07:55:17
Esercizio 3
Si consideri il polinomio p(x) = x^5 – x^3 – 1. Si calcoli la fattorizzazione di p(x) modulo 3. Si verifichi che p(x) è irriducibile sul campo dei razionali.
Svolgimento
x^5 – x^3 – 1 in Z3[x] è equivalente a x^5 + 2x^3 + 2
Vediamo se p(x) ha radici: p(0) = 2, p(1) = 1 + 2 + 2 = 5 congruo 2, p(2) = 32 + 16 + 2 = 50 congruo 2. Non avendo radici, determiniamo per quali polinomi di secondo grado si può dividere. In Z3[x], tutti i polinomi di grado 2 esistenti sono:
x^2, x^2 + x, x^2 + 1, x^2 + 2x, x^2 + 2, x^2 + x + 1, x^2 + 2x + 2, x^2 + 2x + 1, x^2 + x + 2 (li ho considerati monici perché anche p(x) è monico)
Eliminiamo i polinomi di grado 2 riducibili in Z3[x] ed otteniamo che i soli due polinomi irriducibili sono: x^2 + 2x + 2 ed x^2 + x + 2. Bisogna adesso dividere p(x) per ciascuno dei due polinomi e vedere se il resto è zero. Fidatevi, la fattorizzazione di p(x) è (x^2 + x + 2)(x^3 + 2x^2 + x + 1).
Per dimostrare che p(x) è irriducibile in Q[x], ragiono in Z2[x]. Infatti, se un polinomio è irriducibile in Zp[x], con p primo, allora lo è anche in Q[x]. In Z2[x], p(x) equivale ad x^5 + x^3 + 1, e, non avendo radici (p(0) = 1, p(1) = 1), trovo tutti i polinomi di grado 2 irriducibili in Z2[x]. Nel nostro caso, l’unico polinomio irriducibile in Z2[x] è x^2 + x + 1, e, dividendo p(x) per quest’ultimo, otteniamo x + 1 come resto. Quindi p(x) è irriducibile in Q[x]. |
| Chilavert |
Inserito il - 10/01/2004 : 07:54:58
Esercizio 2
Si consideri il gruppo G = U(Z25) degli elementi unitari dell’anello (Z25, +, *). Si calcoli l’ordine di G e si verifichi che G è ciclico, determinandone un generatore. Si trovino gli omomorfismi f: (G, *) -> (Z6, +) precisando se qualcuno di essi è infettivo o surgettivo
Svolgimento
Sapendo che 25 = 5^2, per la psy di Eulero avremo che |U(Z25)| = 5^2 – 5 = 20
Nello specifico, U(Z25) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24}, cioè tutti gli n appartenenti a Z25 tali che MCD(n, 25) = 1.
Trovare un generatore di U(Z25) è semplice: sapendo che 20 = 2^2 * 5, gli elementi di questo insieme avranno necessariamente periodo 1 o 2 o 4 o 5 o 10 o 20. Nello specifico:
2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^4 = 16, 2^5 = 32 congruo 7, 2^10 = 1024 congruo 24, 2^20 = 1048576 congruo 1. Quindi U(Z20) = <2>
Troviamo gli omomorfismi. f(2) determina univocamente f. infatti, f(n) = f(2^m) = mf(2); inoltre, f(n*m) = f(n)*f(m). Infine, |f(2)| divide MCD(|2|, |Z6|), quindi |f(2)| divide 2.
Se |f(2)| = 1 abbiamo che f(2) = [0]6, e quindi, per ogni n appartenente a G, f(n) = mf(2) = m[0]6 = [0]6. Abbiamo ottenuto l’omomorfismo banale, che non è né ingettivo né surgettivo.
Se |f(2)| = 2 abbiamo che f(2) = [3]6, e quindi, per ogni n appartenente a G, f(n) = mf(2) = m[3]6, ottenendo due casi: se m è dispari, m[3]6 = [3]6, se m è pari, m[0]6 = [0]6. Anche in questo caso, l’omomorfismo non è né surgettivo né ingettivo. |
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