| V I S U A L I Z Z A D I S C U S S I O N E |
| qaz |
Inserito il - 24/04/2010 : 17:59:55
Esercizio 4
Siano X una V.A. di Poisson P(2) e Y una V.A. di Bernoulli di parametro 1/3 .
• Si determini la funzione di probabilita’ di X · Y .
• Si calcoli P(X · Y <= 1|X <= 1).
Esercizio 5
Siano X e Y le variabili aleatorie dell’esercizio precedente. Si calcoli P(X = k|X + Y = n)
spiegando anche per quali valori di k tale probabilita’ e’ diversa da zero.
Idee?  |
| 20 U L T I M E R I S P O S T E (in alto le più recenti) |
| joe_abruzzi |
Inserito il - 28/04/2010 : 11:09:23
Citazione:
Messaggio inserito da Mk178
Secondo me...
dire P(X=k|X+Y=n) non equivale solo a P(Y=n-k)( o equivalentemente solo P(X=k))... perdi il "condizionamento" dell' evento noto.
Per questo bisogna risolvero con l'intersezione della prob. di X=k e X+Y=k diviso P(X=k)... ho come ho fatto io, con il teorema di Bayes(equivalente, ma che semplifica i calcoli).
ok, grazie |
| dylan_dog |
Inserito il - 28/04/2010 : 10:41:30
Citazione:
Messaggio inserito da The_Mad_Hatter
Citazione:
Messaggio inserito da dylan_dog
Scusate qualcuno mi può spiegare perché P(X·Y=k) = P({X=0}U{Y=0}) ? Non riesco proprio ad arrivarci...
Una semplice regola matematica, mi pare si chiami "annullamento del prodotto", ovvero:
Se a · b = 0, allora a = 0 oppure b = 0
Adattata al nostro problema:
Se XY è 0, allora o X deve essere 0 oppure Y deve essere 0, il che si traduce insiemisticamente con l'unione.
EDIT:
Occhio che vale solo nel primo caso, ovvero quello in cui k=0!
Forse è questo che ti ha tratto in inganno
Ti ringrazio! |
| Mk178 |
Inserito il - 28/04/2010 : 10:36:33
Secondo me...
Citazione:
Messaggio inserito da joe_abruzzi
questo perchè se sappiamo che la somma di X e Y da come risultato n e vogliamo calcolare la probabilità che X=k sarebbe come dire quant'è la probabilità che Y sia uguale ad n-k e quindi tale probabilità è diversa da 0 per i valori k=n e k=n-1.
dire P(X=k|X+Y=n) non equivale solo a P(Y=n-k)( o equivalentemente solo P(X=k))... perdi il "condizionamento" dell' evento noto.
Per questo bisogna risolvero con l'intersezione della prob. di X=k e X+Y=k diviso P(X=k)... ho come ho fatto io, con il teorema di Bayes(equivalente, ma che semplifica i calcoli).
Infine, se fosse vero P(X=k|X+Y=n)=P(Y=n-k), x k=n V k=n-1, il valore della probabilità non varierebbe al variare della n.
Penso sia questo il problema, ma nn ne sono sicuro
|
| joe_abruzzi |
Inserito il - 27/04/2010 : 17:35:49
a me escono gli stessi risultati per tutti gli esercizi tranne che per il quinto. io avevo impostato così:
|-- = p ovvero 1/3 se n-k=1
P(X=k|X+Y=n)=P(Y=n-k)=--|
|-- = 1-p ovvero 2/3 se n-k=0
|
|-- = 0 in tutti gli altri casi
questo perchè se sappiamo che la somma di X e Y da come risultato n e vogliamo calcolare la probabilità che X=k sarebbe come dire quant'è la probabilità che Y sia uguale ad n-k e quindi tale probabilità è diversa da 0 per i valori k=n e k=n-1.
edit: ovviamente vorrei sapere dove sbaglio |
| The_Mad_Hatter |
Inserito il - 27/04/2010 : 16:14:39
Citazione:
Messaggio inserito da dylan_dog
Scusate qualcuno mi può spiegare perché P(X·Y=k) = P({X=0}U{Y=0}) ? Non riesco proprio ad arrivarci...
Una semplice regola matematica, mi pare si chiami "annullamento del prodotto", ovvero:
Se a · b = 0, allora a = 0 oppure b = 0
Adattata al nostro problema:
Se XY è 0, allora o X deve essere 0 oppure Y deve essere 0, il che si traduce insiemisticamente con l'unione.
EDIT:
Occhio che vale solo nel primo caso, ovvero quello in cui k=0!
Forse è questo che ti ha tratto in inganno |
| dylan_dog |
Inserito il - 27/04/2010 : 15:59:27
Scusate qualcuno mi può spiegare perché P(X·Y=k) = P({X=0}U{Y=0}) ? Non riesco proprio ad arrivarci... |
| Mk178 |
Inserito il - 27/04/2010 : 12:18:55
rivedendo...
per k=0
P(X·Y=k) = P({X=0}U{Y=0}) = Px(0)+Py(0)-P({X=0}intersezione{Y=0}) = Px(0)+Py(0)-Px(0)·Py(0) = (2 + e^-2)/3
quindi il risultato era corretto, ho sbagliato a trascrivere...
P.s.ho semplicemente usato P(A U B)= P(A) + P(B) - P(A intersecato B)
dove P(A intersecato B), per A e B indipendenti, P(A intersecato B) = P(A)P(B)
per k>0
P(X·Y=k) = P({X=k}intersezione{Y=1}) = Px(k)·Py(1) = 2^(k)/k!·e^-2 · 1/3
|
| The_Mad_Hatter |
Inserito il - 27/04/2010 : 11:00:16
Citazione:
Messaggio inserito da elsandro88
per k=0
P(X·Y=k) = P({X=0}U{Y=0}) = Px(0)+Py(0)-P({X=0}intersezione{Y=0}) = Px(0)+Py(0)+Px(0)·Py(0) = (2 + e^-2)/3
io mi ritrovo con 2/3 + e^-2
Lì ci dovrebbe essere un meno, Mik ha sbagliato a trascrivere!
Infatti, la probabilità l'intersezione di due eventi indipendenti è il loro prodotto,
Citazione:
P({X=0}intersezione{Y=0}) a quanto è uguale? non sono disgiunti?
pertanto P({X=0}intersezione{Y=0}) = P(X=0) · P(Y=0).
Ed è infatti questa la quantità che bisogna andare a sottrarre (e non aggiungere) da P(X=0) + P(Y=0), che fa poi giungere a quel risultato.
Spero di essere stato abbastanza chiaro!  |
| elsandro88 |
Inserito il - 27/04/2010 : 09:03:57
per k=0
P(X·Y=k) = P({X=0}U{Y=0}) = Px(0)+Py(0)-P({X=0}intersezione{Y=0}) = Px(0)+Py(0)+Px(0)·Py(0) = (2 + e^-2)/3
io mi ritrovo con 2/3 + e^-2
P({X=0}intersezione{Y=0}) a quanto è uguale? non sono disgiunti?
|
| Mk178 |
Inserito il - 26/04/2010 : 21:17:20
Esercizio 4
stamattina il Prof. mi ha confermato che ho impostato bene la f. di prob. e che la probabilità condizionata è 1(ha fatto tutti i passaggi)
riscrivo la funz.di probabilità correggendo alcuni errori di calcolo ke ho commesso:
per k=0
P(X·Y=k) = P({X=0}U{Y=0}) = Px(0)+Py(0)-P({X=0}intersezione{Y=0}) = Px(0)+Py(0)+Px(0)·Py(0) = (2 + e^-2)/3
per k>0
P(X·Y=k) = P({X=k}intersezione{Y=1}) = Px(k)·Py(1) = 2^(k)/k!·e^-2 · 1/3
P(X · Y <= 1|X <= 1) = P({X · Y <= 1} intersecato {X <= 1}) / P(X<=1) = .... moooolti passaggi ... = 1
Esercizio 5
Anche questo avevo impostato bene, ma avevo sbagliato alcuni calcoli.
Cmq
Citazione:
Messaggio inserito da Mk178
P(X=k|X+Y=n) = P(X=k)/P(X+Y=n) * P(X+Y=n|X=k) dove P(X+Y=n|X=k) l'ho inteso come P(Y=n-k)
= Px(k) / ( P({X=n}inter{Y=0})+P({X=n-1}inter{Y=1}) ) * P(Y=n-k) =
= Px(k) / ( Px(n)Py(0)+Px(n-1)Py(1) ) * P(Y=n-k) =
= Px(k) / ( Px(n)*2/3 + Px(n-1)*1/3 ) * P(Y=n-k) =
[...]
essendo P(Y=n-k) la fdp di una Bernoulli è definita solo per Y=0 e Y=1...
quindi n-k deve esser o 0 o 1... per altri valori, credo ke P(Y=k) sia 0
pertanto tutto P(X=k|X+Y=n) diventerebbe 0 per tali valori....
per valori di k=n e k=n-1, [...]
è giusto.
Aggiungo che:
P(X=k|X+Y=n) = Px(k) / ( Px(n)*2/3 + Px(n-1)*1/3 ) * P(Y=n-k) = ....passaggi vari....
= 2^(k-n+1) * (n-1)!/k! * 3n/(4+n) *P(Y=n-k)
di cui, come detto, per tutti valori di k diversi da n e n-1, P(Y=n-k) è uguale a zero ed azzera tutto.
Invece:
P(X=n|X+Y=n) = 4/(4+n)
P(X=n-1|X+Y=n) = n/(4+n)
|
| The_Mad_Hatter |
Inserito il - 26/04/2010 : 11:07:26
Citazione:
Messaggio inserito da Mk178
(io do per scontato ke le V.A. X e Y sono indipendenti... altrimenti non so proprio come procedere)
*
Ovviamente
Si sarà dimenticato di scriverlo...
Citazione:
per k=0
P(X·Y=k) = P({X=0}U{Y=0}) = Px(0)+Py(0)-P({X=0}intersezione{Y=0}) = Px(0)+Py(0)+Px(0)·Py(0) = 2/3 + e^-2
per k>0
P(X·Y=k) = P({X=k}intersezione{Y=1}) = Px(k)·Py(1) = 2^(k+1)/3k! · e^-2
P(X · Y <= 1|X <= 1) = 1
perché essendo Y una Bernoulli, assume valori 1 o 0...
dunque X·Y = 0 se Y = 0 altrimenti X·Y = X...
quindi se X·Y deve essere <= 1, per Y=0 lo è perchè è 0
e per Y=1 lo è perché è X che è noto essere <=1.
(ora sto cercando di dimostralo con i calcoli... ma non mi ritrovo)
Cmq questo ragionamente è perfetto e non fa una piega, è matematico e rigoroso. Basta dire che, come hai detto tu:
X = 0 ==> XY = 0
X = 1 ==> XY = Y ==> XY = 0 v XY = 1
(dove, se non fosse chiaro
==> : implica
v : vel
)
Secondo me la parte più difficile di questo esercizio era proprio definire la funzione di probabilità di XY. Ma infondo bastava stare attenti all'intersezione (nel caso XY = 0) |
| elsandro88 |
Inserito il - 25/04/2010 : 17:01:17
P(X * Y = x)= P(Y=1)*P(X=n)= 1/3 * ( 2^n / n! )* e^(-2)
|
| elsandro88 |
Inserito il - 25/04/2010 : 15:09:26
dopo la partita risolvo..e l'esercizio 5 va bene secondo te???
|
| Mk178 |
Inserito il - 25/04/2010 : 15:04:49
la funz. di probabilità non può essere esattamente 1/3 - e^-2 indipendente dal k...
e come dire ke P(XY=1) = P(XY=347) |
| elsandro88 |
Inserito il - 25/04/2010 : 15:02:50
MA P(XY>0) e P(XY=k) con k diverso da zero sono euivalenti anche perche k è sempre positiva
|
| Mk178 |
Inserito il - 25/04/2010 : 14:06:56
Citazione:
Messaggio inserito da elsandro88
io l'ho risolto cosi:
P(X * Y =0)= P(X=0)U P(Y=0) = 2/3 + e^-2
ok..
Citazione:
Messaggio inserito da elsandro88
P(X * Y = x) = 1 - P(X * Y =0)= 1/3 - e^-2
non sono daccorso... dire 1- Pxy(0) equivale a dire P(XY>0) ...
no P(XY=k)
|
| elsandro88 |
Inserito il - 25/04/2010 : 12:12:52
la loro intersezione è ovviamente P(X=0) xke
P(X=0) è un sottoinsieme di P(X*Y=0)
|
| elsandro88 |
Inserito il - 25/04/2010 : 12:02:01
P(X=k | X+Y=n) =( P(X=k)/P(X+Y=n) ) * P(X+Y=n | X=k)
i valori di k per cui la probabilità è diversa da zero sono k=n oppure k=n-1
P(X=k)= (2^k / k!)* e-2
se k=n se k = n-1
P(X+Y=n)=( P(X=n) inter P(Y=0) ) U ( P(X=n-1) inter P(Y=1) ) = un bel numeretto pieno di e e !
P(X+Y=n | X=k) = P(Y=n-k)= | 1/3 se k= n-1
| 2/3 se k=n
|
| elsandro88 |
Inserito il - 25/04/2010 : 11:49:52
io l'ho risolto cosi:
P(X * Y =0)= P(X=0)U P(Y=0) = 2/3 + e^-2
P(X * Y = x) = 1 - P(X * Y =0)= 1/3 - e^-2
P(X * Y <= 1 | X<= 1)= ( P(X*Y<=1)inter P(X<=1) ) / P(X<=1)= P(X=0)/P(X<=1)= 1/3
xke
P(X<=1)=P(X=0) U P(X=1) = 3e^(-2)
P(X*Y<=1)=P(X*Y=0) U P(X*Y=1)
la loro intersezione è ovviamente P(X=0)
poi..... |
| Mk178 |
Inserito il - 24/04/2010 : 20:34:27
Per l'esercizio 5, sono altrettanto insicuro...
Per ora mi esce qualkosa del genere...:
P(X=k|X+Y=n) = P(X=k)/P(X+Y=n) * P(X+Y=n|X=k) dove P(X+Y=n|X=k) l'ho inteso come P(Y=n-k)
= Px(k) / ( P({X=n}inter{Y=0})+P({X=n-1}inter{Y=1}) ) * P(Y=n-k) =
= Px(k) / ( Px(n)Py(0)+Px(n-1)Py(1) ) * P(Y=n-k) =
= Px(k) / ( Px(n)*2/3 + Px(n-1)*1/3 ) * P(Y=n-k) =
sostituendo alle Px la funz. di prob di Poisson per k, n e n-1... semplificando le e^-2 e facendo un pò di passaggi... mi esce qualkosa del genere...:
= 1 / ( k!/(n-1)! * 2^n-k+1 * 4-n/3n ) * P(Y=n-k)
ora...
essendo P(Y=n-k) la fdp di una Bernoulli è definita solo per Y=0 e Y=1...
quindi n-k deve esser o 0 o 1... per altri valori, credo ke P(Y=k) sia 0
pertanto tutto P(X=k|X+Y=n) diventerebbe 0 per tali valori....
per valori di k=n e k=n-1, P(Y=n-k) diventa P(Y=0) e P(Y=1) rispettivamente 2/3 e 1/3...
Per questi valori di k, P(X=k|X+Y=n) diventa:
per k=n P(X=k|X+Y=n) = 1/(4-n)
per k=n-1 P(X=k|X+Y=n) = n/(16-4n)
dire ke il tutto nn mi convince è poco... in modo particolare quel 4-n/3n senza del quale sarei più convinto.
Ma essendo sabato sera, io direi ke per il fine settimana possa bastare... lunedì si pensa...
|
