| V I S U A L I Z Z A D I S C U S S I O N E |
| The_Mad_Hatter |
Inserito il - 02/06/2010 : 11:03:00
Propongo la risoluzione dei primi tre, quelli relativi alla massima verosimiglianza.. gli altri non li ho fatti perché sono relativi al primo esonero.
ES. n. 1
Stabiliamo i valori ammissibili per p.
Intanto la somma delle probabilità deve essere 1, e questo avviene sempre, in quanto:
p + (1/2 - p) + p + (1/2 - p) = 2p + 1 - 2p = 1
Inoltre, ogni probabilità deve essere compresa tra 0 e 1.
1/2 - p <= 1 ==> p <= 1/2
AND
p >=0
Pertanto p deve essere compreso nell'intervallo [0, 1/2].
(osservando il campione, possiamo anche escludere gli estremi, in quanto si vede facilmente che nessuna probabilità è pari a 0.
Per la stima di p, si va col metodo classico della verosimiglianza:
L(p) = p^6 * (1/2 - p)^9
ln L(p) = 6ln(p) + 9ln(1/2-p)
d/dp(ln L(p)) = 6/p - 9/(1/2-p)
Salvo errori di calcolo, la derivata si annulla nel punto 1/5, pertanto:
p^ = 1/5
ES. n. 2
Qui possiamo scegliere di procedere in due modi differenti.
Scelgo quello più indolore.
Intanto Y è una bernoulliana... inoltre:
P(Y=0) = y^0/0! * e^(-y) = e^(-y)
Quindi P(Y=1) = 1-e^(-y).
Quest'ultimo è il parametro della bernoulliana, che chiamo p.
Quindi p = 1 - e^(-y)
Facilmente, p cappuccio è uguale alla media campionaria di Y, ovvero:
p^ = 4/7
Notiamo che p è una funzione di y, infatti potrei scrivere f(y) = 1-e^(-y)
Tuttavia per applicare il principio dell'invarianza, ci serve una funzione di p e non di y.
Notiamo però che f : ]0,+inf[ --> ]0,1[ è bigettiva[*], pertanto invertibile.
[*]Dominio e codominio corrispondono con i valori che possono assumere rispettivamente y e p.
Per trovare la sua inversa, basta isolare y in funzione di p: quindi se
p = 1 - e^(-y) , allora
y = -(ln(1-p))
quindi
f(p) = -(ln(1-p))
definita da ]0,1[ a ]0,+inf[
Pertanto, per l'invarianza:
y^ = -(ln(3/7)) ~ 0,847
Mi rendo conto che la spiegazione di questa procedura molto intuitiva richiede un po' di conoscenza di analisi... ma se non avete molta confidenza con le derivate e/o fate spesso errori di calcolo è decisamente preferibile...
Io ho fatto l'esercizio anche nell'altro modo, ovvero scrivendo esplicitamente la funzione di verosimiglianza per y:
L(y) = (1 - e^(-y))^4 * e^(-3y)
..etc
Ma ho perso molto più tempo perché mi impu*ta*avo sempre con le derivate...
ES. n. 3
Abbiamo un campione di dimensione 5 relativo ad una binomiale di parametri (4,p).
La soluzione è immediata, in quanto data una binomiale di parametri (n,p), allora p^ = mediacampionaria/n
In questo caso:
p^ = ((0+2+1+2+4)/5)/4 = 9/20
Anche facendo i calcoli è piuttosto semplice:
L(p) = A * p^9 * (1-p)^11
ln L(p) = ln(A) + 9*ln(p) + 11*ln(1-p)
dove A è una certa quantità numerica che viene fuori dai vari coefficienti binomiali che si moltiplicano tra loro. Non è necessario risolverla, in quanto è un termine costante rispetto a p, pertanto nella derivata si annulla.
d/dp (ln L(p)) = 0 + 9/p + 11*(1/(1-p))*(-1) = (9 - 20p) / (p-p^2)
La derivata si annulla proprio nel punto 9/20, pertanto
p^ = 9/20 |
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| The_Mad_Hatter |
Inserito il - 03/06/2010 : 14:14:05
Citazione:
Messaggio inserito da Spidey
[...]
Ora il mio dubbio è, come detto sopra, il ragionamento secondo cui tu hai deciso di considerare il denominatore della derivata sempre maggiore di zero.
Ciao,
il denominatore se ben ricordo è 1-e^(y).
Ora:
- y per definizione è maggiore di 0
- pertanto -y < 0 ed e viene elevato ad una quantità negativa
- osservando la funzione e^x, si vede che quando x < 0 allora e^x < 1
- pertanto 1 - una quantità minore di 1 è maggiore di 0
Spero sia abbastanza chiaro! |
| Spidey |
Inserito il - 03/06/2010 : 11:10:19
Citazione:
Messaggio inserito da The_Mad_Hatter
ES. n. 2
Qui possiamo scegliere di procedere in due modi differenti.[...]
Qui ovviamente io ho preferito la strada solita ;P
Dunque:
Y assume valori {0,1} ma faccio finta di non notare che è una bern. e procedo come al solito...
P(Y=0) = y^0/0! * e^(-y) = e^(-y)
P(Y=1) = 1 - P(Y=0) = 1 - e^(-y)
L(y) = (1 - e^(-y)) * e^(-y) * e^(-y) * e^(-y) * (1 - e^(-y)) * (1 - e^(-y)) * (1 - e^(-y)) =
= e^(-3y) * (1 - e^(-y))^4
LnL(y) = -3y*Ln(e) + 4*ln(1 - e^(-y)) = -3y + 4*ln(1 - e^(-y))
d/dy LnL(y) = -3 + 4 * 1/(1 - e^(-y)) * (-e^(-y)*(-1)) =
= -3 + 4 * e^(-y)/(1 - e^(-y)) =
= ( -3*(1 - e^(-y))+4*e^(-y) ) / (1 - e^(-y)) >0
Il denominatore è sempre maggiore di zero, dunque
( -3*(1 - e^(-y))+4*e^(-y) ) / (1 - e^(-y)) >0 <=> ( -3*(1 - e^(-y))+4*e^(-y) ) > 0
( -3*(1 - e^(-y))+4*e^(-y) ) > 0 <=> -3 + 3e^(-y) + 4*e^(-y) > 0 <=>
<=> -3 + 7e^(-y) > 0 <=> e^(-y) > 3/7 <=> Ln(e^(-y)) > Ln(3/7) <=>
<=> -y*Ln(e) > Ln(3/7) <=> -y > Ln(3/7) <=> y < -Ln(3/7)
dove -Ln(3/7) = -1*Ln(3/7) = -1*(-0,85) = 0,85
y^ = 0.85
Ciao Mk178, mi puoi spiegare il ragionamento per cui secondo te il denominatore è sempre maggiore di zero? Io ho proceduto in questa maniera: una volta risolta la derivata
[ 7-3*(e^lambda) ] / [ e^(lambda) - 1 ]
l'ho posta maggiore uguale di zero e ho messo, come al solito, il numeratore maggiore uguale di zero ed il denominatore maggiore di zero. Senza annoiare nessuno con i calcoli,  alla fine mi viene
-- lambda <= Ln(7/3)
|
|
-- lambda > 0
Infine, facendo il grafico per scoprire il punto di massimo, ottengo che
"lambda cappuccio" = Ln(7/3)
che è proprio il risultato che ottieni tu. Ora il mio dubbio è, come detto sopra, il ragionamento secondo cui tu hai deciso di considerare il denominatore della derivata sempre maggiore di zero. Dimmi se interpreto male il tuo ragionamento, secondo te il denominatore è sempre maggiore di zero perché Y è una bernoulliana? Grazie. 
Ciao ciao. |
| toto007 |
Inserito il - 02/06/2010 : 18:38:34
qualcuno mi può spiegare la definizione delle formula veloce per le funzioni di verosimiglianza in modo da poter effettuare il test e verificare che il risultato calcolato sia corretto ? |
| Mauris |
Inserito il - 02/06/2010 : 18:31:21
facendo come appena detto esce proprio 9/20 che è lo stesso risultato della media, cioè 1/20*(sum(0+2+1+2+4)).
20 perché i 4 lanci vanno moltiplicati per 5 ripetizioni |
| Mauris |
Inserito il - 02/06/2010 : 18:21:34
n va considera pari al numero dei lanci e non al numero delle ripetizioni!!!!!!!!!!!!relativamente all'esercizio 3
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| toto007 |
Inserito il - 02/06/2010 : 18:04:04
La traccia era chiara...sono io che ho fatto un pò di confusione :P !. cmq ora mi ci ritrovo perfettamente con i calcoli....
grazie :)
ps. allego la soluzione del terzo esercizio corretta.
Citazione:
Messaggio inserito da The_Mad_Hatter
Citazione:
Messaggio inserito da toto007
[...]
Forse la traccia non era il massimo della chiarezza, 5 ripetizioni fa proprio pensare ad una binomiale di parametri (5,p)... ma invece quello che intendeva è che abbiamo effettuato per 5 volte l'esperimento "lancio 4 volte una moneta".
Quindi 5 è la dimensione del campione (in effetti era anche superfluo dirlo) e la binomiale è di parametri (4,p).
Comunque in caso di errori simili all'esonero, il prof valuta lo svolgimento dell'esercizio... quindi l'importante è saper fare l'esercizio, te la saresti cavata cmq bene! ;p
Allegato:  Soluzione-3°Esercizio-Statistica-III.pdf
441,29 KB |
| Mk178 |
Inserito il - 02/06/2010 : 17:46:41
Provo a chiarire qualcosa, ma anche io confermo tutti i risultati
Citazione:
Messaggio inserito da The_Mad_Hatter
Propongo la risoluzione dei primi tre, quelli relativi alla massima verosimiglianza.. gli altri non li ho fatti perché sono relativi al primo esonero.
ES. n. 1
Stabiliamo i valori ammissibili per p.
Intanto la somma delle probabilità deve essere 1, e questo avviene sempre, in quanto:
p + (1/2 - p) + p + (1/2 - p) = 2p + 1 - 2p = 1
Inoltre, ogni probabilità deve essere compresa tra 0 e 1.
1/2 - p <= 1 ==> p <= 1/2
AND
p >=0 [...]
Giusto, ma credo che la seconda proprietà sia meglio spiegarla più in dettaglio come soluzione del sistema(ma solo per una maggiore chiarezza):
p2=p4= p => ( 0 < p < 1
{
p1=p3= 1/2 - p => ( 0 < 1/2 - p < 1 => -1/2 <p < 1/2
Dunque
| |---|---|
|---|---| |
__|___|___|___|_
-1/2 0 1/2 1
Da cui capiamo che 0 < p < 1/2
Citazione:
Messaggio inserito da The_Mad_Hatter
ES. n. 2
Qui possiamo scegliere di procedere in due modi differenti.[...]
Qui ovviamente io ho preferito la strada solita ;P
Dunque:
Y assume valori {0,1} ma faccio finta di non notare che è una bern. e procedo come al solito...
P(Y=0) = y^0/0! * e^(-y) = e^(-y)
P(Y=1) = 1 - P(Y=0) = 1 - e^(-y)
L(y) = (1 - e^(-y)) * e^(-y) * e^(-y) * e^(-y) * (1 - e^(-y)) * (1 - e^(-y)) * (1 - e^(-y)) =
= e^(-3y) * (1 - e^(-y))^4
LnL(y) = -3y*Ln(e) + 4*ln(1 - e^(-y)) = -3y + 4*ln(1 - e^(-y))
d/dy LnL(y) = -3 + 4 * 1/(1 - e^(-y)) * (-e^(-y)*(-1)) =
= -3 + 4 * e^(-y)/(1 - e^(-y)) =
= ( -3*(1 - e^(-y))+4*e^(-y) ) / (1 - e^(-y)) >0
Il denominatore è sempre maggiore di zero, dunque
( -3*(1 - e^(-y))+4*e^(-y) ) / (1 - e^(-y)) >0 <=> ( -3*(1 - e^(-y))+4*e^(-y) ) > 0
( -3*(1 - e^(-y))+4*e^(-y) ) > 0 <=> -3 + 3e^(-y) + 4*e^(-y) > 0 <=>
<=> -3 + 7e^(-y) > 0 <=> e^(-y) > 3/7 <=> Ln(e^(-y)) > Ln(3/7) <=>
<=> -y*Ln(e) > Ln(3/7) <=> -y > Ln(3/7) <=> y < -Ln(3/7)
dove -Ln(3/7) = -1*Ln(3/7) = -1*(-0,85) = 0,85
y^ = 0.85
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| The_Mad_Hatter |
Inserito il - 02/06/2010 : 17:37:57
Citazione:
Messaggio inserito da toto007
[...]
Forse la traccia non era il massimo della chiarezza, 5 ripetizioni fa proprio pensare ad una binomiale di parametri (5,p)... ma invece quello che intendeva è che abbiamo effettuato per 5 volte l'esperimento "lancio 4 volte una moneta".
Quindi 5 è la dimensione del campione (in effetti era anche superfluo dirlo) e la binomiale è di parametri (4,p).
Comunque in caso di errori simili all'esonero, il prof valuta lo svolgimento dell'esercizio... quindi l'importante è saper fare l'esercizio, te la saresti cavata cmq bene! ;p |
| tizi88 |
Inserito il - 02/06/2010 : 17:28:50
per il terzo esercizio, le (1-p) sono
(1-p)^4(1-p)^3(1-p)^2(1-p)^2(1-p)^0
facendo le somme degli esponenti, viene ^11  |
| toto007 |
Inserito il - 02/06/2010 : 15:04:31
ahaha...sorry...hai ragione...non ciò proprio fatto caso :)
Citazione:
Messaggio inserito da The_Mad_Hatter
Beh, forse perché ln(7/3) e -ln(3/7) sono lo stesso punto :D
Infatti:
ln(7/3) = -(ln(3/7)) ~ 0,847
Comunque secondo me hai fatto dei passaggi inutili nella terza pagina, ti potevi benissimo fermare alla prima riga, ovvero:
(7e^(-y) - 3)/(1-e^(-y)).
Annullando la derivata trovi il punto stazionario (che guarda caso è lo stesso :D stavolta però nella forma -ln(3/7)), se proprio vuoi essere sicuro che sia di massimo e non di minimo fai la derivata seconda che verrà positiva in quel punto e te ne darà la certezza :p
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| The_Mad_Hatter |
Inserito il - 02/06/2010 : 14:56:02
Beh, forse perché ln(7/3) e -ln(3/7) sono lo stesso punto :D
Infatti:
ln(7/3) = -(ln(3/7)) ~ 0,847
Comunque secondo me hai fatto dei passaggi inutili nella terza pagina, ti potevi benissimo fermare alla prima riga, ovvero:
(7e^(-y) - 3)/(1-e^(-y)).
Annullando la derivata trovi il punto stazionario (che guarda caso è lo stesso :D stavolta però nella forma -ln(3/7)), se proprio vuoi essere sicuro che sia di massimo e non di minimo fai la derivata seconda che verrà positiva in quel punto e te ne darà la certezza :p |
| toto007 |
Inserito il - 02/06/2010 : 14:15:25
Ho fatto il secondo esercizio con il metodo consigliato dal prof (usando le derivate)
Come punto di massimo però mi esce ln(7/3)
Ho ricontrollato i passaggi ma non ho trovato nessun errore .
Vi allego l'esercizio svolto, magari qualcun'altro potrà confermare o meno...
Allegato: Soluzione-2°Esercizio-Statistica-III.pdf
548,34 KB |
| geipi |
Inserito il - 02/06/2010 : 13:02:56
Citazione:
Messaggio inserito da The_Mad_Hatter
ES. n. 2
Qui possiamo scegliere di procedere in due modi differenti.
Scelgo quello più indolore.
Intanto Y è una bernoulliana... inoltre:
P(Y=0) = y^0/0! * e^(-y) = e^(-y)
Quindi P(Y=1) = 1-e^(-y).
Quest'ultimo è il parametro della bernoulliana, che chiamo p.
Quindi p = 1 - e^(-y)
Facilmente, p cappuccio è uguale alla media campionaria di Y, ovvero:
p^ = 4/7
Notiamo che p è una funzione di y, infatti potrei scrivere f(y) = 1-e^(-y)
Tuttavia per applicare il principio dell'invarianza, ci serve una funzione di p e non di y.
Notiamo però che f : ]0,+inf[ --> ]0,1[ è bigettiva[*], pertanto invertibile.
[*]Dominio e codominio corrispondono con i valori che possono assumere rispettivamente y e p.
Per trovare la sua inversa, basta isolare y in funzione di p: quindi se
p = 1 - e^(-y) , allora
y = -(ln(1-p))
quindi
f(p) = -(ln(1-p))
definita da ]0,1[ a ]0,+inf[
Pertanto, per l'invarianza:
y^ = -(ln(3/7)) ~ 0,847
Mi rendo conto che la spiegazione di questa procedura molto intuitiva richiede un po' di conoscenza di analisi... ma se non avete molta confidenza con le derivate e/o fate spesso errori di calcolo è decisamente preferibile...
Io ho fatto l'esercizio anche nell'altro modo, ovvero scrivendo esplicitamente la funzione di verosimiglianza per y:
L(y) = (1 - e^(-y))^4 * e^(-3y)
..etc
Ma ho perso molto più tempo perché mi impu*ta*avo sempre con le derivate...
Ciao!! Io mi ricordo che il prof. all'ultima lezione disse che si può fare anche n/media campionaria.
Invece tu hai fatto media campionaria/n!!!
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| toto007 |
Inserito il - 02/06/2010 : 12:35:08
Confermo il risultato del primo Esercizio.
Se vi può esservi utile vi allego il pdf con l'esercizio svolto in ogni passaggio.
Allegato: Soluzione-1°Esercizio-Statistica-III.pdf
439,75 KB |
| SoFtIcE |
Inserito il - 02/06/2010 : 11:11:20
Ti devo una birra  |
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