Ciao,
In effetti non è proprio immediato come esercizio, ma bisogna ragionare un po' sui valori che la V.A. può assumere (facile) e sulle condizioni in cui li assume (un po' meno intuitivo, ma non difficile).
Dunque: la X è una Poisson, quindi per definizione assume valori interi da 0 a +infinito.
Per la Y idem.
Quindi, X+Y è una somma di numeri interi maggiori o uguali a zero, pertanto assume valori da 0 a +infinito anch'essa.
Ma in che condizioni assume tali valori?
Facciamo una piccola tabella:
X + Y | CASI POSSIBILI
------|----------------------------------------------------
0 | 1: (X=0 AND Y=0)
1 | 2: (X=0 AND Y=1) OR (X=1 AND Y=0)
2 | 3: (X=0 AND Y=2) OR (X=1 AND Y=1) OR (X=2 AND Y=0)
3 | 4: (X=0 AND Y=3) OR .....
..insomma, si è capita la logica no?
Facciamo ancora un passo avanti: X e Y sono indipendenti, quindi sappiamo che la probabilità che X sia zero e che Y sia zero si può scrivere:
P(X+Y=0) = P(X=0) intersezione P(Y=0) = P(X=0) · P(Y=0)
L'unione tra due eventi disgiunti invece si traduce con la somma delle loro probabilità, pertanto:
P(X+Y=1) = P(X=0)·P(Y=1) + P(X=1)·P(Y=0)
Generalizzando, notiamo che quando X+Y=k, i casi possibili sono k+1. Ad esempio se X+Y=0, allora c'è solo 1 caso possibile, se X+Y=1, ci sono 2 casi possibili, se X+Y=7, ci sono 8 casi possibili e così via.
Abbiamo visto come ognuno di questi casi possibili sia una intersezione di eventi indipendenti, e quindi prodotti delle loro rispettive probabilità. Dobbiamo unirli tutti tra loro, ma sono disgiunti, quindi possiamo sommarli. Pertanto:
P(X+Y = k) = SOMMATORIA per i=0 fino a k di P(X=i)·P(Y=k-i)
Spero sia tutto chiaro!
