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Giuromano86
Nuovo Utente
Regione: Puglia
Prov.: Bari
Città: Bari
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 Inserito il - 07/02/2009 : 19:04:02
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Ragazzi mi date qualche dritta su un esercizio del secondo esonero?
Allora la traccia era questa:
Traccia 3) Siano dati i seguenti vettori di R5:
v1=(-1 1 0 3 1); v2=(4 2 -3 3 -1); v3=(-2 0 1 1 1); v4=(-7 -1 4 1 3)
discutere i seguenti punti:
a) dire se i vettori v1,v2,v3,v4 sono linearmente dipendenti o indipendenti
b) sia V=span(v1,v2,v3,v4) (ossia il sottospazio vettoriale generato dai vettori v1,v2,v3,v4). Determinare dim(V) (ossia la dimensione di V) e una base di V
c) determinare V ortogonale, ed individuarne una base
d) si considerino i tre vettori:
v=(5 7 -6 15 1); w=(0 -3 1 2 -3); z=(48 0 0 0 0)
dire se v,w,z appartengono a V, V ortogonale o a nessuno dei due
e) decomporre il vettore z del punto precedente come somma di due vettori z = z1 + z2, con z1 E V, z2 E V ortogonale
f) sia A=[v1,v2]. Risolvere il sistema Ax=z nel senso dei minimi quadrati
Nota: dopo aver risolto il punto a la risoluzione del punto b è immediata.
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Allora, per il punto a dovrei considerare la matrice A avente come colonne i 4 vettori dati e calcolarne il rango. Se questo è uguale a 4 allora sono indipendenti, giusto?? Allora senza fare i calcoli, da scilab ho che il rango di A è 2, che è minore di 4, quindi sono indipendenti, giusto?
PS: per calcolare il rango della matrice A devo ridurla a scalini tipo come facevamo per la fatt LU? perchè così facendo il rango a mè viene 3 e non 2... :(
Per il punto b, per determinare la dimensione di V dovrei prima trovarne la base e poi contarne il numero di elementi, giusto? Per trovare la base come faccio? E gli altri punti? :( aiutoo
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LuSio88
Nuovo Utente
Regione: Puglia
Prov.: Bari
Città: Corato
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Inserito il - 31/05/2010 : 16:02:13
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| Qualcuno può rispondere? |
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miss smile
Utente medio
Regione: Puglia
Prov.: Bari
Città: Conversano
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Inserito il - 31/05/2010 : 19:45:51
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Ho chiesto aiuto al prof (tramite mail) proprio per questo esercizio.
Hai detto bene, per calcolarti il rango di A devi ridurla a scalini, ed effettivamente viene 2! Questo appunto ti indica che i 4 vettori non sono tra loro linearmente indipendenti. Solo le colonne pivotali (in questo caso v1 e v2) sono linearmente indipendenti (ma anche v1-v3 e v1-v4).
Una base di V=span{v1,v2,v3,v4} è l'insieme di quei vettori che sono linearmente indipendenti tra loro... e quindi hai 3 possibili basi: {v1,v2},{v1,v3} e {v1,v4}. Da qui deduci che la dimensione di V è pari a 2!
Ora, per la determinazione di V ortogonale bisogna determinare il kernel di A trasposta, ossia bisogna risolvere il sistema A'x=0, ma non mi è chiaro se bisogna considerare A = [v1,v2,v3,v4] oppure con solo le colonne che noi prendiamo come base. Sto aspettando ancora una risposta del prof in merito a ciò.
Per verificare se v, w e z appartengono a V, devi risolvere i sistemi Ax=v,w,z (con A=colonne della base scelta); se tali sistemi ammettono soluzione, allora appartengono a V.
Per quanto riguarda il punto e) non so proprio come aiutarti...nemmeno a me è chiara la procedura... e spero che il prof mi risponda presto.
Per l'ultimo punto, infine, devi prima di tutto verificare ke rank(A)=2 (e l'abbiamo visto dal punto a) e poi applicare il teorema dei minimi quadrati che afferma che il sistema Ax=b è equivalente a A'Ax=A'b. Calcolati A', fatti i prodotti A'A e A'b e risolvi il sistema normalmente. |
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LuSio88
Nuovo Utente
Regione: Puglia
Prov.: Bari
Città: Corato
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Inserito il - 01/06/2010 : 13:21:05
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e)
il vettore z si scompone in
z1 = [31 5 -18 -3 -13]T E V
z2 = [17 -5 18 3 13]T E V ort
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Esercizio secondo esonero
