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Ghost2099
Utente medio
Regione: Puglia
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 Inserito il - 27/10/2004 : 10:55:51
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TRACCIA
"Si consideri il gruppo G = U(Z25) degli elementi unitari dell’anello (Z25, +, *). Si calcoli l’ordine di G e si verifichi che G è ciclico, determinandone un generatore. Si trovino gli omomorfismi f: (G, *) -> (Z6, +) precisando se qualcuno di essi è infettivo o surgettivo
SVOLGIMENTO
Sapendo che 25 = 5^2, per la psy di Eulero avremo che |U(Z25)| = 5^2 – 5 = 20
Nello specifico, U(Z25) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24}, cioè tutti gli n appartenenti a Z25 tali che MCD(n, 25) = 1.
Trovare un generatore di U(Z25) è semplice: sapendo che 20 = 2^2 * 5, gli elementi di questo insieme avranno necessariamente periodo 1 o 2 o 4 o 5 o 10 o 20. Nello specifico:
2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^4 = 16, 2^5 = 32 congruo 7, 2^10 = 1024 congruo 24, 2^20 = 1048576 congruo 1. Quindi U(Z20) = <2>"
fin qui tutto chiaro
arriviamo al punto:
"Troviamo gli omomorfismi. f(2) determina univocamente f.inoltre, f(n*m) = f(n)*f(m)."
perchè f(n*m)=f(n)*f(m)? secondo la definizione di omomorfismo non dovevamo dimostrare che f(n*m)=f(n)+f(m)? cmq sia come sei arrivato a dire ciò?
"Infine, |f(2)| divide MCD(|2|, |Z6|), quindi |f(2)| divide 2."
come hai preso questi valori e perchè?
"Se |f(2)| = 1 abbiamo che f(2) = [0]6, e quindi, per ogni n appartenente a G, f(n) = mf(2) = m[0]6 = [0]6. Abbiamo ottenuto l’omomorfismo banale, che non è né ingettivo né surgettivo.
Se |f(2)| = 2 abbiamo che f(2) = [3]6, e quindi, per ogni n appartenente a G, f(n) = mf(2) = m[3]6, ottenendo due casi: se m è dispari, m[3]6 = [3]6, se m è pari, m[0]6 = [0]6. Anche in questo caso, l’omomorfismo non è né surgettivo né ingettivo."
qui in realtà che stai facendo?
grazie della pazienza
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Omomorfismi
