Allora... innanzitutto notiamo che Z assume valori {0, 1, 2, ....}
Poi vediamo che:
X | Y | Z
-----------
0 | 0 | 0 P({X=0} intersez. {Y=0})
0 | 1 | 1 P({X=0} intersez. {Y=1})
1 | 0 | 1 P({X=1} intersez. {Y=0})
1 | 1 | 2 P({X=1} intersez. {Y=1})
2 | 0 | 2 P({X=2} intersez. {Y=0})
2 | 1 | 3 ....
3 | 0 | 3
3 | 1 | 4
Quindi, supponendo che X e Y siano indipendenti, abbiamo:
Pz(0) = P(Z=0) = P(X=0) P(Y=0) = (1-p) * e^(-lambda) = 1/2e
Per k>0:
Pz(k) = P(X=k-1) P(Y=1) + P(X=k) P(Y=0) =
= ( lambda^(k-1) / (k-1)! ) * e^(-lambda) * p + ( lambda^k / k! ) * e^(-lambda) * (1-p) =
= ( lambda^(k-1) / (k-1)! ) * e^(-lambda) * (p + (lambda/k)*(1-p)) =
= ( 1^(k-1) / (k-1)! ) * e^(-1) * ( 1/2 + (1/k)*(1/2)) =
= (1/2) * (1/(k-1)!) * e^(-1) * (1 + 1/k)
...ci vorrebbe un modo nel forum per convertire le formule testuali in linguaggio matematico.. queste scritte così sono praticamente illeggibili!
EDIT:
In allegato, un'immagine chiarificatrice!
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