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 Discussione  |
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Puffetta
Utente giovane
Regione: Puglia
Prov.: Bari
Città: Bitonto
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 Inserito il - 29/01/2006 : 17:41:32
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In Z6 si consideri l'operazione binaria * definita da a*b =a+b+2.
Verificare che (Z6,*) è un monoide commutativo e che tutti gli elementi di Z6sono invertibili rispetto a *.
Qualcuno m potrebbe aiutare a risolverlo?
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Anna |
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ciberbob
Utente medio
Regione: Puglia
Prov.: Bari
Città: Molfetta
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 Inserito il - 29/01/2006 : 19:02:45
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Anna Eccoti servita
Allora Verifico che sia Monoide commutatito cioe' Monoide (* associativa. e che abbia l'elemento neutro) in piu' * commutativa
-------
* Associativa
per ogni a,b,c in Z6 (a*b)*c = a*(b*c)
(a*b)*c = (applicando l'operazione * data dalla traccia) (a+b+2)*c =
(a+b+2+c)2 = 2a+2b+4+2c (I)
a*(b*c) = a*(b+c+2) = (a+b+c+2)2 = 2a+2b+2c+4 (II)
Come vedi I e II sono uguali quindi * + associativa
-----
* Commutativa
per ogni a,b in Z6 (a*b) = (b*a)
(a*b) = a+b+2
(b*a) = b+a+2
Sono uguali quindi * e' commutativa
-----
Elemento Neutro
per ogni a in Z6 esiste u in Z6 tale che
a*u=u*a=a (Definizione di elemento Neutro)
a*u=a Applico l'operazione si ha
a+u+2=a eseguo i calcoli per ricavarvi u
a+u=a-2
u=a-2-a
u=-2 che in Z6 è congruo a 4
Viceversa
u*a=a Applico l'operazione si ha
u+a+2=a eseguo i calcoli per ricavarvi u
u=a-a-2
u=-2 che in Z6 è congruo a 4
Essendo i 2 elementi neutri uguali esso è unico ed è uguale a 4
Verifica:
per ogni a in Z6 esiste u in Z6 tale che
a*u=u*a=a (Definizione di elemento Neutro)
ma u=4 quindi
a*4= a+4+2 = a +6 ma 6 in Z6 è conguo a 0 si ha a+0 = a Come volevasi dimostrare
Nel senso inverso è verificato
4*a=4+a+2=6+a che per le motivazioni di prima è uguale ad a
---------
Quindi *ass,comm, ha elem.Neuto = 4 E' Monoide commutativo
---------
Inverso
Definizione di inverso
per ogni a in Z6 esiste x in Z6 tale che
a*x=x*a=u(elemento nentro nel nostro caso = 4)
a*x=u Applico l'operazione * si ha
a+x+2=4 eseguo i calcoli per ricavare x
a+x=4-2
a+x=2
x=2-a
Nell'altro senso si ha:
x*a=4 Applico l'operazione * si ha
x+a+2=4 ricavo la x
x=4-2-a
x=2-a
I 2 inversi sono uguali quindi e unico ed è 2-a
Verica:
Definizione di inverso
per ogni a in Z6 esiste x in Z6 tale che
a*x=x*a=u(elemento nentro nel nostro caso = 4)
ma x=2-a
si ha
a*(2-a)=a+(2-a)+2 (ho applicato l'operazione *)
=a+2-a+2=4 che è il nostro elemento Neutro come volevamo
nel senso opposto vale lo stesso
(2-a)*a = 2-a+a+2 = 4
Quindi gli inversi degli elemnti sono:
Z6=(0,1,2,3,4,5)
Ricordo che l'inverso è 2-a quindi
Inverso di 0 = 2-0 = 2 Infatti 0*2=0+2+2=4
Inverso di 1 = 2-1 = 1 Infatti 1*1=1+1+2=4
Inverso di 2 = 2-2 = 0 Infatti 2*0=2+0+2=4
Inverso di 3 = 2-3 = -1 congruo ha 5 in Z6 Infatti 3*5=3+5+2=10 congruo a 4 in Z6
Inverso di 4 = 2-4 = -2 congruo ha 4 in Z6 Infatti 4*4=4+4+2=10
congruo a 4 in Z6
Inverso di 5 = 2-5 = -3 congruo ha 3 in Z6 Infatti 5*3=5+3+2=10
congruo a 4 in Z6
Questo è tutto spero di essere stato di aiuto.
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ciberbob
Utente medio
Regione: Puglia
Prov.: Bari
Città: Molfetta
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Inserito il - 29/01/2006 : 20:22:05
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Anna Scusami ma mi sono accorto di un errore questa e' la versione giusta considera questo non quello di prima
Allora Verifico che sia Monoide commutatito cioe' Monoide (* associativa. e che abbia l'elemento neutro) in piu' * commutativa
-------
* Associativa
per ogni a,b,c in Z6 (a*b)*c = a*(b*c)
(a*b)*c = (applicando l'operazione * data dalla traccia) (a+b+2)*c =
a+b+2+c+2 = a+b+2+2 (I)
a*(b*c) = a*(b+c+2) = a+b+c+2+2 (II)
Come vedi I e II sono uguali quindi * + associativa
-----
* Commutativa
per ogni a,b in Z6 (a*b) = (b*a)
(a*b) = a+b+2
(b*a) = b+a+2
Sono uguali quindi * e' commutativa
-----
Elemento Neutro
per ogni a in Z6 esiste u in Z6 tale che
a*u=u*a=a (Definizione di elemento Neutro)
a*u=a Applico l'operazione si ha
a+u+2=a eseguo i calcoli per ricavarvi u
a+u=a-2
u=a-2-a
u=-2 che in Z6 è congruo a 4
Viceversa
u*a=a Applico l'operazione si ha
u+a+2=a eseguo i calcoli per ricavarvi u
u=a-a-2
u=-2 che in Z6 è congruo a 4
Essendo i 2 elementi neutri uguali esso è unico ed è uguale a 4
Verifica:
per ogni a in Z6 esiste u in Z6 tale che
a*u=u*a=a (Definizione di elemento Neutro)
ma u=4 quindi
a*4= a+4+2 = a +6 ma 6 in Z6 è conguo a 0 si ha a+0 = a Come volevasi dimostrare
Nel senso inverso è verificato
4*a=4+a+2=6+a che per le motivazioni di prima è uguale ad a
---------
Quindi *ass,comm, ha elem.Neuto = 4 E' Monoide commutativo
---------
Inverso
Definizione di inverso
per ogni a in Z6 esiste x in Z6 tale che
a*x=x*a=u(elemento nentro nel nostro caso = 4)
a*x=u Applico l'operazione * si ha
a+x+2=4 eseguo i calcoli per ricavare x
a+x=4-2
a+x=2
x=2-a
Nell'altro senso si ha:
x*a=4 Applico l'operazione * si ha
x+a+2=4 ricavo la x
x=4-2-a
x=2-a
I 2 inversi sono uguali quindi e unico ed è 2-a
Verica:
Definizione di inverso
per ogni a in Z6 esiste x in Z6 tale che
a*x=x*a=u(elemento nentro nel nostro caso = 4)
ma x=2-a
si ha
a*(2-a)=a+(2-a)+2 (ho applicato l'operazione *)
=a+2-a+2=4 che è il nostro elemento Neutro come volevamo
nel senso opposto vale lo stesso
(2-a)*a = 2-a+a+2 = 4
Quindi gli inversi degli elemnti sono:
Z6=(0,1,2,3,4,5)
Ricordo che l'inverso è 2-a quindi
Inverso di 0 = 2-0 = 2 Infatti 0*2=0+2+2=4
Inverso di 1 = 2-1 = 1 Infatti 1*1=1+1+2=4
Inverso di 2 = 2-2 = 0 Infatti 2*0=2+0+2=4
Inverso di 3 = 2-3 = -1 congruo ha 5 in Z6 Infatti 3*5=3+5+2=10 congruo a 4 in Z6
Inverso di 4 = 2-4 = -2 congruo ha 4 in Z6 Infatti 4*4=4+4+2=10
congruo a 4 in Z6
Inverso di 5 = 2-5 = -3 congruo ha 3 in Z6 Infatti 5*3=5+3+2=10
congruo a 4 in Z6
Questo è tutto spero di essere stato di aiuto.
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Modificato da - ciberbob in data |
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