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 Discussione  |
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PEE
Nuovo Utente
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 Inserito il - 29/01/2006 : 17:49:01
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ESERCIZIO :
(Z*5,x) (Z*4,+)
Stabilire se sono isomorfi e in caso positivo, trovare un isomorfismo tra essi.
Qualcuno mi può dare una mano? grazie!
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ekkekkazz
Utente innocuo
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Inserito il - 29/01/2006 : 20:02:47
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Citazione:
Messaggio inserito da PEE
ESERCIZIO :
(Z*5,x) (Z*4,+)
Stabilire se sono isomorfi e in caso positivo, trovare un isomorfismo tra essi.
Qualcuno mi può dare una mano? grazie!
bisognerebbe trovare degli omomorfismi bigettivi, cioè sia ingettivi che surgettivi... il problema è, come si trovano gli omomorfismi? |
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PEE
Nuovo Utente
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Inserito il - 29/01/2006 : 20:09:41
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| La prof. fece in aula questo es. il 10/01/2006 ... ma nn ho capito il ragionamento ke ha seguito.. e cmq secondo me è anke incompleto... nn so! |
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ekkekkazz
Utente innocuo
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Inserito il - 29/01/2006 : 23:53:25
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| niente... non ci riesco... ma sicuro che sia (Z*5,x) (Z*4,+) oppure (Z*5,x) (Z4,+)? |
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PEE
Nuovo Utente
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Inserito il - 30/01/2006 : 09:26:56
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| qualora fosse (Z*5,x) (Z4,+) come si dovrebbe fare? |
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ekkekkazz
Utente innocuo
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Inserito il - 30/01/2006 : 14:40:29
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Allora, seguendo gli esempi presi durante la lezione...
per ogni h in Z5*,Z4* [h]=h;
(Z5*,*)->(Z4*,+) con * prodotto;
Z5*={1,2,3,4}=<2>;
Z4*={1,2,3}=<3>;
Per la proprietà degli omomorfismi tra gruppi finiti...
|f(x)|/MCD(|Z4*|,|x|) per ogni x in Z5*,
quindi calcoliamoci il periodo di tutti gli elementi di Z5*:
|1|=1,|2|=4,|3|=2,|4|=2 con anche |Z4*|=3.
Facendo MCD(3,y) con y=|x| per ogni x in Z5* (y tutti i periodi trovati), ricaviamo che |f(x)| deve dividere 1, perchè 3 e tutti gli y sono coprimi. Qual'è il valore di f(2) che appartiene a Z4* che ha periodo 1? 1 stesso... ricaviamo che: f(2)=1
I due gruppi sono ciclici, e quindi per la relativa proprietà,
per ogni x in Z5*, f(x)=f(a^m) con a generatore di Z5* ed m il relativo periodo per ottenere x... come dire x=a^m.
di conseguenza per ogni x in Z5*, f(x)=f(2^m)=f(2)^m=1^m
infatti:
-f(1)=f(2^4)=f(2)^4=1^4=4=0
-f(2)=f(2^1)=f(2)^1=1
-f(3)=f(2^3)=f(2)^3=1^3=3
-f(4)=f(2^2)=f(2)^2=1^2=2
Non ho considerato l'omomorfismo banale perchè se cerchiamo isomorfismi, questo non è ingettivo.
Verifichiamo che siano omomorfismi:
f(1*2)=f(1)+f(2); 1=0+1; 1=1;
f(4*4)=f(4)+f(4); f(16)=f(4)+f(4); f(1)=f(4)+f(4); 0=4; 0=0;
ecc...
però 0 non appartiene a Z4*, quindi c'è un f(x) con x in Z5* che non appartiene a Z4*.
Quindi questo è sempre da considerare omomorfismo, nonostante f(1) non appartiene a Z4*? (ecco perchè ho chiesto se si può includere lo 0) |
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PEE
Nuovo Utente
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Inserito il - 30/01/2006 : 15:23:54
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vorrei kiederti dei kiarimenti:
1)
|f(x)| = ? sarebbe il periodi dell'elemento generatore? |f(x)| = 4? perkè il generatore è 2?
cioè vedendo la formula.. qual è la differenza tra |f(x)| e |x| ?
2)
non ho ben capito questa osservazione:
"Qual è il valore di f(2) che appartiene a Z4* che ha periodo 1? 1 stesso... ricaviamo che: f(2)=1"
grazie cmq per l'interesse!   |
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PEE
Nuovo Utente
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 Inserito il - 30/01/2006 : 16:37:22
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vedendo e rivedendo l'esercizio.. cè un 'altra parte ke nn mi è del tutto kiara:
"
Verifichiamo che siano omomorfismi:
f(1*2)=f(1)+f(2); 1=0+1; 1=1;
f(4*4)=f(4)+f(4); f(16)=f(4)+f(4); f(1)=f(4)+f(4); 0=4; 0=0;
"
f(1*2)=f(1)+f(2); 1=0+1; 1=1 ?? come t fa a venire così? potresti scrivermi i passaggi ke fai? lo stesso vale per f(4*4)=f(4)+f(4); f(16)=f(4)+f(4); f(1)=f(4)+f(4); 0=4; 0=0 ..  |
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ekkekkazz
Utente innocuo
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Inserito il - 30/01/2006 : 22:50:31
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x appartiene a Z5* mentre f(x) appartiene a Z4*, è una semplice funzione, che deve
avere le proprietà degli omomorfismi.
Sostanzialmente quello che noi dovremmo fare per trovare gli omomorfismi è andare
a vedere come sono tutti gli f(x) in Z4*, evitando quello che le proprietà degli omomorfismi
ci permettono di evitare.
|f(x)| è il periodo di un elemento di Z4* ottenuto tramite la funzione, con x in Z5*.
per esempio 3 di Z5* ha periodo 2, perchè 3^2=3*3=9=4; 9 diventa quattro perchè per essere
congruo in Z5* (9=4(mod 5)).
per la verifica, ho semplicemente copiato i valori che degli omomorfismi che mi sono trovato,
ovviamente facendo i calcoli nei rispettivi moduli... per es. f(16) è f(1) perchè
16 congruo 1 (mod 5), e quindi si scrive 1.
Le mie conclusioni comunque sono queste:
-f è ingettiva da (Z5*,*) a (Z4*,+) perchè
per ogni h,k in Z5*, f(h)!=f(k) (basta scrivere questo?);
-f è surgettiva perchè per ogni h in Z4* h=f(k) con k in Z5*;
resta il fatto che f(1)=0 non ha valore in Z4*
pertanto f è un isomorfismo
(Z5*,*)->(Z4*,+)
1->0 (bo!)
2->1
3->3
4->2
in qualche modo sembra funzionare, non so se in quello giusto... |
Modificato da - ekkekkazz in data |
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PEE
Nuovo Utente
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Inserito il - 31/01/2006 : 08:43:18
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Nell'es sta scritto :
"Qual'è il valore di f(2) che appartiene a Z4* che ha periodo 1? 1 stesso... ricaviamo che: f(2)=1"
perkè 1 ha periodo 1??
in (G,+) <a>={m*a; m appartiene a N} quindi 1 dovrebbe essere generatore.
o no?!
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PEE
Nuovo Utente
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Inserito il - 31/01/2006 : 09:15:20
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"3 di Z5* ha periodo 2, perchè 3^2=3*3=9=4; 9 diventa quattro perchè per essere
congruo in Z5* (9=4(mod 5))."
3 non ha periodo 4 in Z5?
3^1 = 3
3^2= 9 = 4
3^3= 27 = 2
3^4= 81 = 1
ci fermiamo quando arriviamo all'elemento neutro.. quindi nn è 4 il periodo di 3
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ekkekkazz
Utente innocuo
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Inserito il - 31/01/2006 : 12:11:40
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Hai ragione PEE, mi sono sbagliato.
Quindi in (Z4*,+) il periodo è 4 anche se 1^4 non appartiene a Z4*?
1^1=1
1^2=1+1=2
1^3=2+1=3
1^4=3+1=0 zero neutro non c'è in Z4*... però il periodo resta 4?
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Isomorfismo
