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Chilavert
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Prov.: BA
Città: Bari
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 Inserito il - 19/11/2003 : 14:54:08
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Esercizio 1
Siano dati quattro insiemi A1, A2, A3, A4 ciascuno costituito da 13 elementi. Si conti il numero di elementi dell’unione A1 U A2 U A3 U A4 in ognuna delle seguenti situazioni:
a) gli insiemi sono a due a due disgiunti
b) gli insiemi hanno a due a due 9 elementi in comune e sono a tre a tre disgiunti
c) gli insiemi hanno a due a due 9 elementi in comune, a tre a tre 6 elementi in comune e sono a quattro a quattro disgiunti
Svolgimento:
I nostri dati sono:
x = A1 U A2 U A3 U A4
|A1| = |A2| = |A3| = |A4| = 13
S1 = |A1| + |A2| + |A3| + |A4| = 13*4 = 52
S2 = |A1^A2| + |A1^A3| + |A1^A4| + |A2^A3| + |A2^A4| + |A3^A4|
S3 = |A1^A2^A3| + |A1^A2^A4| + |A1^A3^A4| + |A2^A3^A4|
S4 = |A1^A2^A3^A4|
x = S1 – S2 + S3 – S4
a) gli insiemi sono a due a due disgiunti
Se gli insiemi sono a due a due disgiunti, lo saranno anche a tre a tre ed a quattro a quattro
Quindi S2 = S3 = S4 = 0
x = 52
b) gli insiemi hanno a due a due 9 elementi in comune e sono a tre a tre disgiunti
S2 = 9*6 = 54
S3 = S4 = 0
x = 52 – 54 = -2 (evidente inconsistenza dei dati di input… vabbè…)
c) gli insiemi hanno a due a due 9 elementi in comune, a tre a tre 6 elementi in comune e sono a quattro a quattro disgiunti
S2 = 9*6 = 54
S3 = 6*4 = 24
S4 = 0
x = 52 – 54 + 24 = 22
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E' un bene per il Prof. Xxxxxxx che sappia con chi ha a che fare.
Pensa a studiare e non agli esempi, o ad altre strade per così dire,
che questa volta mi sa che non attacca. [cit.]
Tutti professori dall'esterno, e poi parlano persone che per prendere un voto decente
ripetono l'esame 30 volte e poi fanno i sapientoni con chi segue la prima volta vedi chilavert [cit.] |
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Chilavert
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Inserito il - 19/11/2003 : 14:55:17
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Esercizio 2
Si fattorizzi il numero n = 2567, applicando il crivello di Eratostene. Si calcoli l’espansione del numero n in base 5.
Svolgimento:
radq(2567) = 50.66…
I numeri primi < 50 (fidatevi, non voglio stare qui a fare l’algoritmo) sono:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 39, 41, 43, 47}
Quindi andiamo a calcolare i resti della divisione modulo p
Rem(2567,2) = 1
Rem(2567,3) = 2
…
Rem(2567,17) = 0 quindi 17 è fattore
2567/17 = 151
radq(151) = 12.28…
Abbiamo dimostrato che nessuno dei numeri primi < 12 divideva n, quindi 151 è fattore primo
In definitiva, 2567 = 17*151
Adesso calcoliamo 2567 in base 5
Quo(2567,5) = 513 Rem(2567,5) = 2
Quo(513,5) = 102 Rem(513,5) = 3
Quo(102,5) = 20 Rem(102,5) = 2
Quo(20,5) = 4 Rem(20,5) = 0
Quo(4,5) = 0 Rem(4,5) = 4
Leggendo i resti al contrario, abbiamo 2567 in base 10 = 40232 in base 5 |
E' un bene per il Prof. Xxxxxxx che sappia con chi ha a che fare.
Pensa a studiare e non agli esempi, o ad altre strade per così dire,
che questa volta mi sa che non attacca. [cit.]
Tutti professori dall'esterno, e poi parlano persone che per prendere un voto decente
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Chilavert
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Inserito il - 19/11/2003 : 14:55:38
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Esercizio 3
Si risolva il sistema di congruenze lineari:
8x congruo 5 mod 13
9x congruo 6 mod 14
7x congruo 3 mod 15
Andiamo a ridurre in forma canonica le 3 congruenze secondo la regola 1 = sn + ta
8x congruo 5 mod 13
1 = s13 + t8 -> 1 = -3*13 + 5*8 estrapoliamo la t
8*(5) congruo 1 mod 13 moltiplichiamo per b
8*(25) congruo 5 mod 13 normalizziamo (25 non è compreso fra 0 e 12)
Abbiamo che 25 congruo 12 mod 13, quindi otteniamo
x congruo 12 mod 13
9x congruo 6 mod 14
1 = s14 + t9 -> 1 = 2*14 – 3*9 estrapoliamo la t
9*(-3) congruo 1 mod 14 moltiplichiamo per b
9*(-18) congruo 6 mod 14 normalizziamo (-18 non è compreso fra 0 e 13)
Abbiamo che –18 congruo 10 mod 14, quindi otteniamo
x congruo 10 mod 14
7x congruo 3 mod 15
1 = s15 + t7 -> 1 = 1*15 – 2*7 estrapoliamo la t
7*(-2) congruo 1 mod 15 moltiplichiamo per b
7*(-6) congruo 3 mod 15 normalizziamo (-6 non è compreso fra 0 e 14)
Abbiamo che –6 congruo 9 mod 15, quindi otteniamo
x congruo 9 mod 15
Il nuovo sistema in forma “canonica” è:
x congruo 12 mod 13
x congruo 10 mod 14
x congruo 9 mod 15
Calcoliamo M, M1, M2, M3
M = 13*14*15 = 2730
M1 = 14*15 = 210
M2 = 13*15 = 195
M3 = 13*14 = 182
Adesso troviamo tutti gli xi secondo la regola 1 = s*Mi + t*ni (i={1, 2, 3}
x congruo 12 mod 13
1 = s210 + t13 -> 1 = -6*210 + 97*13
x1 = -6*210 = -1260
x congruo 10 mod 14
1 = s195 + t14 -> 1 = -1*195 + 14*14
x2 = -1*195 = -195
x congruo 9 mod 15
1 = s182 + t15 -> 1 = -7*182 + 85*15
x3 = -7*182 = -1274
Calcoliamo x’
x’ = x1b1 + x2b2 + x3b3 = -1260*12 –195*10 –1274*9 = -26781
La soluzione x finale che soddisfa il sistema è:
x = x’ + kM = -26781 + k2730 |
E' un bene per il Prof. Xxxxxxx che sappia con chi ha a che fare.
Pensa a studiare e non agli esempi, o ad altre strade per così dire,
che questa volta mi sa che non attacca. [cit.]
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Chilavert
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Inserito il - 19/11/2003 : 14:55:59
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Esercizio 4
Si consideri la relazione R su Z tale che, per ogni a, b appartenenti a Z, aRb <-> 3 non divide a, 3|b oppure 3|2a + b
Si dimostri che R è riflessiva e transitiva. Si stabilisca se R è una relazione di equivalenza. Si calcoli l’insieme H = {n appartenenti a Z; -4Rn}
Svolgimento:
Dimostriamo che R è riflessiva
aRa <-> 3 non divide a, 3|a oppure 3|2a + a Questa è sempre vera perché 2a + a = 3a, e 3|3a per ogni a appartenente a Z
Dimostriamo che R è transitiva
aRb <-> 3 non divide a, 3|b oppure 3|2a + b
bRc <-> 3 non divide b, 3|c oppure 3|2b + c
Abbiamo 4 sottocasi:
1) 3|2a + b, 3|2b + c -> 3|2a + 3b + c -> 3|3b, 3|2a + c -> aRc
2) 3|2a + b, 3 non divide b, 3|c -> 3|2a + b + c -> 3|2a + c -> aRc
3) 3|2b + c, 3 non divide a, 3|b -> 3 non divide a, 3|c -> aRc
4) 3 non divide a, 3|b, 3 non divide b, 3|c -> 3 non divide a, 3|c -> aRc
Per stabilire se R è relazione di equivalenza, ci manca da dimostrare se R è riflessiva
aRb <-> 3 non divide a, 3|b oppure 3|2a + b
Se 3|2a + b -> 3|a (infatti 3 non divide 2) e 3|b -> 3|2b, 3|a -> 3|2b + a -> bRa
H = {n appartenenti a Z; -4Rn}
-4Rn <->3 non divide –4, 3|2n oppure 3|-8 + n
Quindi, considerato che 3 non divide –4 (ovviamente) i casi si riducono a 3|2n oppure 3|-8 + n
Dire che 3|-8 + n equivale a dire che 3|n – 2 (-2 congruo –8 mod 3)
Quindi H = {n appartenenti a Z; “3|n” oppure “n congruo 2 mod 3”} (in pratica le classi di resto individuate da 0 e 2) |
E' un bene per il Prof. Xxxxxxx che sappia con chi ha a che fare.
Pensa a studiare e non agli esempi, o ad altre strade per così dire,
che questa volta mi sa che non attacca. [cit.]
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Chilavert
admin
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Prov.: BA
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Inserito il - 19/11/2003 : 14:56:48
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Esercizio 5
Si considerino le formule a: (B^not(C))->not(A) e b: (not(C)->A)->AvB. Si scriva la tavola di verità di ciascuna di esse. Si deduca se a<->b è una tautologia
Svolgimento:
E allora via con la tavola di verità…
Credo sia evidente vedere che a<->b NON è una tautologia |
E' un bene per il Prof. Xxxxxxx che sappia con chi ha a che fare.
Pensa a studiare e non agli esempi, o ad altre strade per così dire,
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Chilavert
admin
Regione: Puglia
Prov.: BA
Città: Bari
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Inserito il - 19/11/2003 : 14:57:03
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Esercizio 6
Si consideri l’operazione * sull’insieme A = {n appartenenti a Z; 10|n} tale che per ogni n, m appartenenti ad A, n*m = n*m/5. Si stabilisca se * è associativa, commutativa, dotata di elemento neutro. Si trovi un sottoinsieme di A chiuso per l’operazione *
Svolgimento:
Dimostriamo che * è associativa:
per ogni n, m, p appartenenti ad A: n*(m*p) = (n*m)*p
In effetti, n*(mp/5) = (nm/5)*p -> nmp/25 = nmp/25. Questa formula è valida poiché n, m, p si possono scrivere come 10a, 10b, 10c in quanto multipli di 10, quindi, essendo 10 = 2*5, otteniamo
nmp/25 = 2^3*5^3*abc/5^2 = 2^3*5abc = 10*2^2*abc. Ponendo 2^2*abc = z otteniamo nmp/25 = 10z appartenente ad A
Dimostriamo che * è commutativa:
per ogni n, m appartenenti ad A: n*m = m*n
In effetti, nm/5 = mn/5
Dimostriamo che * ha elemento neutro:
avendo precedentemente dimostrato che * è commutativa, dimostriamo solo in un verso
esiste u appartenente ad A tale che per ogni x appartenente ad a: x*u = x
xu/5 = x -> u = 5 che però NON appartiene ad A
Quindi * NON è dotato di elemento neutro.
Un sottoinsieme di A chiuso per * è, ad esempio, B = {n appartenenti ad N; 10|n}. Infatti, presi due elementi n, m appartenenti ad N, n*m = nm/5 appartiene ancora ad N, quindi a B. |
E' un bene per il Prof. Xxxxxxx che sappia con chi ha a che fare.
Pensa a studiare e non agli esempi, o ad altre strade per così dire,
che questa volta mi sa che non attacca. [cit.]
Tutti professori dall'esterno, e poi parlano persone che per prendere un voto decente
ripetono l'esame 30 volte e poi fanno i sapientoni con chi segue la prima volta vedi chilavert [cit.] |
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SD83
Utente assiduo
Regione: Puglia
Prov.: Foggia
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Inserito il - 19/11/2003 : 18:49:59
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| complimenti chilavert sei un mostro in matematica... |
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Chilavert
admin
Regione: Puglia
Prov.: BA
Città: Bari
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Inserito il - 19/11/2003 : 19:02:55
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| ...e non solo... |
E' un bene per il Prof. Xxxxxxx che sappia con chi ha a che fare.
Pensa a studiare e non agli esempi, o ad altre strade per così dire,
che questa volta mi sa che non attacca. [cit.]
Tutti professori dall'esterno, e poi parlano persone che per prendere un voto decente
ripetono l'esame 30 volte e poi fanno i sapientoni con chi segue la prima volta vedi chilavert [cit.] |
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beppenet
Nuovo Utente
Regione: Puglia
Prov.: Foggia
Città: Foggia
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Inserito il - 19/11/2003 : 20:18:51
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 spero somigli a questa la prova del corso B! |
beppenet@ |
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Chilavert
admin
Regione: Puglia
Prov.: BA
Città: Bari
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Inserito il - 19/11/2003 : 20:19:59
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| ...la trovi facile? |
E' un bene per il Prof. Xxxxxxx che sappia con chi ha a che fare.
Pensa a studiare e non agli esempi, o ad altre strade per così dire,
che questa volta mi sa che non attacca. [cit.]
Tutti professori dall'esterno, e poi parlano persone che per prendere un voto decente
ripetono l'esame 30 volte e poi fanno i sapientoni con chi segue la prima volta vedi chilavert [cit.] |
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beppenet
Nuovo Utente
Regione: Puglia
Prov.: Foggia
Città: Foggia
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Inserito il - 19/11/2003 : 20:32:06
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| no...è che ho studiato e mi pare che sarei riuscito a fare quasi tutto! cmq. ho una paura fottuta...è normale? mi sento come angosciato da sta materia... |
beppenet@ |
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beppenet
Nuovo Utente
Regione: Puglia
Prov.: Foggia
Città: Foggia
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 Inserito il - 19/11/2003 : 20:33:56
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| a proposito...devo chiedere alla Costabile perchè funzioni il mio Avatar? sono passati quasi 2mesi! vedi un po' se si può fare qualcosa! |
beppenet@ |
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Chilavert
admin
Regione: Puglia
Prov.: BA
Città: Bari
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Inserito il - 19/11/2003 : 20:38:35
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| se hai studiato va bene... è ovvio... |
E' un bene per il Prof. Xxxxxxx che sappia con chi ha a che fare.
Pensa a studiare e non agli esempi, o ad altre strade per così dire,
che questa volta mi sa che non attacca. [cit.]
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ripetono l'esame 30 volte e poi fanno i sapientoni con chi segue la prima volta vedi chilavert [cit.] |
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dany
Nuovo Utente
Regione: Puglia
Città: Bari
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Inserito il - 20/11/2003 : 07:49:10
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Io non ho fatto il punto b del primo esercizio!
(veramente neanche il punto a e quando ho riletto la traccia a casa mi è sembrato incredibile che non l'avessi fatto)
Quindi nessuna intersezione a 3 a 3 vuol dire anche nessuna intersezione 4 a 4? Era così facile!!! Peccato!
Non ho neanche dimostrato la simmetria (nel topic hai scritto riflessiva al posto di simmetrica) nell'esercizio 4 perche' non mi sono trovata con i calcoli.
Ma tu sei sicuro che se 3|2a+b, 3|2a e quindi 3|a?
Una delle proprieta' della divisibilita' e' che se n|a e n|b allora n|a+b ma e' una implicazione da sinistra verso destra, non una equivalenza.
Se tu hai una somma divisa da un numero n, non puoi dire che n divide ciascuno dei fattori. Es: 3|4+5, ma 3 non divide 4 e 3 non divide 5.
Non potresti neanche dire che 3 divide sicuramente b poichè fra le 2 condizioni della relazione c'è un oppure.
Quindi a,b appartengono alla relazione o perchè 3 non divide a, 3 divide b (questo è il primo caso) o perchè 3|2a+b (secondo caso che non prende in considerazione l'altro).
Gli altri esercizi sono + o - simili a come li ho fatti io. Non ho tempo di leggerli dettagliatamente, ma + o - siamo li. |
Modificato da - dany in data |
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Chilavert
admin
Regione: Puglia
Prov.: BA
Città: Bari
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Inserito il - 20/11/2003 : 12:33:55
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dany
se 3|2a + b allora 3|2a e 3|b (fin qui ci siamo, ed è anche ovvio, se 3|2*3 e 3|9 allora 3|2*3 + 9)
se 3|2a, siccome 3 non divide 2, allora divide a...
..il resto lo deduci da te... |
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dany
Nuovo Utente
Regione: Puglia
Città: Bari
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Inserito il - 20/11/2003 : 13:31:02
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Citazione:
Messaggio inserito da Chilavert
dany
se 3|2a + b allora 3|2a e 3|b (fin qui ci siamo...
E' proprio qui che non ti seguo.
Se tu hai 2 numeri, diciamo a,b e sai che 3|a+b e 3 divide almeno uno dei due numeri, di conseguenza 3 divide anche l'altro numero.
Ovvero (3|a+b e 3|a) implica che 3|b.
Se invece sai solo che 3|a+b e non hai alcuna informazione sui due numeri, non puoi dedurre che 3 divide entrambi i numeri.
Dal mio esempio si capiva che non è così.
Io ho preso a=2, b=5.
Hai che 3|2a+b ossia 3|2*2+5, ma 3 non divide nè 2 nè 5.
Infatti l'implicazione è solo da sinistra verso destra. Ossia (3|a e 3|b) implica che 3|a+b. Non è una equivalenza e quindi non puoi considerare l'implicazione inversa, ossia partire da 3|a+b.
Su questo sono certa e si vede dal controesempio.
La relazione, comunque, dovrebbe essere anche simmetrica, ma non ho ancora capito che tipo di calcoli si fanno x dimostrarlo (se provo con coppie di numeri a caso risulta che è simmetrica, ma questa non è una dimostrazione).
Spero sia chiara la mia obiezione. 
ciao |
Modificato da - dany in data |
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Chilavert
admin
Regione: Puglia
Prov.: BA
Città: Bari
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Inserito il - 20/11/2003 : 15:14:33
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Citazione:
Messaggio inserito da dany
a,b appartengono alla relazione o perchè 3 non divide a, 3 divide b (questo è il primo caso) o perchè 3|2a+b (secondo caso che non prende in considerazione l'altro).
Gli altri esercizi sono + o - simili a come li ho fatti io. Non ho tempo di leggerli dettagliatamente, ma + o - siamo li.
ECCO!!!
se 3 non divide a, 3 divide b (questo è il primo caso) non è vero, è vero il suo contrario, cioè che 3|a... |
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Chilavert
admin
Regione: Puglia
Prov.: BA
Città: Bari
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Inserito il - 22/11/2003 : 12:24:40
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Ho trovato un errore nell'esercizio sul CRT
Citazione:
Calcoliamo x’
x’ = x1b1 + x2b2 + x3b3 = -1260*12 –195*10 –1274*9 = -28536 (e non -26871)
La soluzione x finale che soddisfa il sistema è:
x = x’ + kM = -28536+ k2730
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E' un bene per il Prof. Xxxxxxx che sappia con chi ha a che fare.
Pensa a studiare e non agli esempi, o ad altre strade per così dire,
che questa volta mi sa che non attacca. [cit.]
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MnK
Nessuno può capire
Regione: Puglia
Prov.: Bari
Città: Molfetta
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Inserito il - 23/11/2003 : 12:04:26
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Un sottoinsieme di A chiuso per * è, ad esempio, B = {n appartenenti ad N; 10|n}. Infatti, presi due elementi n, m appartenenti ad N, n*m = nm/5 appartiene ancora ad N, quindi a B.
scusate raga.
nn riesco a capire.n*m=nm/5 appartiene a N???
se prendo n=2 e m=3 viene :
6/5 che nn appartiene a N !!!!!!
qualcunoi di buon cuore che mi risolve il dubbio? |
La bontà è l'unico investimento che non fallisce mai.
(H. D. THOUREAU)
Ah LA PRIKKOPRAKK L'antica arte della ristorazione cinese....
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Chilavert
admin
Regione: Puglia
Prov.: BA
Città: Bari
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Inserito il - 23/11/2003 : 12:21:56
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| come fai a prendere 2 e 3?? per caso 10|2? o 10|3? mhà... |
E' un bene per il Prof. Xxxxxxx che sappia con chi ha a che fare.
Pensa a studiare e non agli esempi, o ad altre strade per così dire,
che questa volta mi sa che non attacca. [cit.]
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MnK
Nessuno può capire
Regione: Puglia
Prov.: Bari
Città: Molfetta
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Inserito il - 23/11/2003 : 12:47:11
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nn riesco a capire perche' deve dividere 10??
spiegati meglio.grazie |
La bontà è l'unico investimento che non fallisce mai.
(H. D. THOUREAU)
Ah LA PRIKKOPRAKK L'antica arte della ristorazione cinese....
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Esonero del 18/11. Svolgimento traccia 2
